Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足為M．
（1）求證：AM⊥PD；
（2）求直線CD與平面ACM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明AM⊥PD，只需證明PD⊥平面ABM，利用AB⊥PD，BM⊥PD可證；
（2）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求得平面ACM的一個法向量

n

=(2，-1，1)，利用向量的夾角公式，即可求得線CD與平面ACM所成角的余弦值．

解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD
∴PA⊥AB
又AB⊥AD，AD∩PA=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD
∴AB⊥平面PAD
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD…（3分）
∵BM⊥PD，AB?平面ABM，AB∩BM=B
∴PD⊥平面ABM
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD…．（6分）
（2）解：如圖，以點A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz…（7分）
則 A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M（0，1，1）
∴

AC

=(1，2，0)，

AM

=(0，1，1)，

CD

=(-1，0，0)
設平面ACM的一個法向量為

n

=(x，y，z)
由

n

⊥

AC

，

n

⊥

AM

，可得

x+2y=0 y+z=0

，令z=1，得x=2，y=-1，∴

n

=(2，-1，1)…（10分）
設直線CD與平面ACM所成角為θ，
則sinθ=|cos(90°-θ)|=|

CD • n

| CD || n |

|=

6

3

∴cosθ=

3

3

，即直線CD與平面ACM所成角的余弦值為

3

3

…（13分）

點評：本題考查線面垂直、線線垂直，考查線面角，考查利用向量知識解決立體幾何問題，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，正確運用向量的夾角公式，屬于中檔題．