Question

【題目】已知函數f（x）= sin（2x+ ）+sin2x．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若函數g（x）對任意x∈R，有g（x）=f（x+ ），求函數g（x）在[﹣ ， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin（2x+ ）+sin2x

=

= sin2x+ cos2x+sin2x

= sin2x+

= sin2x+1﹣ = sin2x+ ，

∴f（x）的最小正周期T= ；

（2）解：∵函數g（x）對任意x∈R，有g（x）=f（x+ ），

∴g（x）= sin2（x+ ）+ = sin（2x+ ）+ ，

當x∈[﹣ ， ]時，則2x+ ∈ ，

則 ≤sin（2x+ ）≤1，即 × ≤g（x） ，解得 ≤g（x）≤1．

綜上所述，函數g（x）在[﹣ ， ]上的值域為：[ ，1]．

【解析】（1）利用兩角和的正弦函數公式及二倍角公式化簡函數f（x），再由周期公式計算得答案；（2）由已知條件求出g（x）= sin（2x+ ）+ ，當x∈[﹣ ， ]時，則2x+ ∈ ，由正弦函數的值域進一步求出函數g（x）在[﹣ ， ]上的值域．