Question

已知函數f(x)=5-

6

x

，數列{a_n}滿足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若對于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求實數a的值；
（2）若對于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求實數a的取值范圍；
（3）請你構造一個無窮數列{b_n}，使其滿足下列兩個條件，并加以證明：①b_n＜b_n+1，n∈N^*；②當a為{b_n}中的任意一項時，{a_n}中必有某一項的值為1．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=a_n，我們不難根據a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一個關于a的方程，解方程可得a的值．
（2）由a_n+1＞a_n，我們不難根據a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一個關于a的不等式，解不等式可得a的值，再代入已知條件進行驗證，可得結果．
（3）我們可以根據已知條件中數列的形式，構造出滿足條件的無窮數列，然后再結合數列的通項公式進行證明．

解答：解：（1）由題意得a_n+1=a_n=a，∴a=

5a -6

a

，得a=2或a=3，符合題意
（2）設a_n+1＞a_n，即

5an-6

an

＞an，解得a_n＜0或2＜a_n＜3
∴要使a₂＞a₁成立，則a₁＜0或2＜a₁＜3
①當a₁＜0時，
a2=

5a1-6

a1

=5-

6

a1

＞5，
而a3-a2=

5a2-6

a2

-a2=

-(a2-2)(a2-3)

a2

＜0，
即a₃＜a₂，不滿足題意．
②當2＜a₁＜3時，
a2=5-

6

a1

∈(2，3)，a3=5-

6

a2

∈(2，3)，
a_n∈（2，3），
此時，an+1-an=

5an-6

an

-an=

-(an-2)(an-3)

an

＞0，
∴a_n+1＞a_n，滿足題意．
綜上，a∈（2，3）
（3）構造數列{b_n}：b1=

3

2

，bn+1=

6

5-bn

，
下面證明滿足要求．
此時bn=5-

6

bn+1

，不妨設a取b_n，
那么a2=5-

6

a1

=5-

6

bn

=bn-1，a3=5-

6

a2

=5-

6

bn-1

=bn-2，
an=5-

6

an-1

=5-

6

b2

=b1=

3

2

，an+1=5-

6

an

=5-

6

b1

=1.
由b1=

3

2

＜2，
可得bn+1=

6

5-bn

＜2
因為bn+1-bn=

6

5-bn

-bn=

(bn-2)(bn-3)

5-bn

＞0，
所以b_n＜b_n+1
又b_n＜2≠5，所以數列{b_n}是無窮數列，
因此構造的數列{b_n}符合題意．

點評：已知函數f(x)=5-

6

x

，數列{a_n}滿足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．當a_n+1=a_n成立時，可以用方程思想解決問題，當a_n+1＞a_n成立時，可以用不等式思想，求實數a的取值范圍；這其實是函數、方程、不等式之間的相互轉換，也是數列的函數特征最好的體現．