Question

已知A，B，P為橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m，n＞0）上不同的三點，且A，B連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積k_PA•k_PB=-2，則該橢圓的離心率為

2

2

．

Answer 1

分析：根據雙曲線的對稱性可知A，B關于原點對稱，設出A，B和P的坐標，把A，B點坐標代入雙曲線方程可求得直線PA和直線PB的斜率之積，進而求得m和n的關系，進而根據雙曲線的離心率公式即可得出答案．

解答：解：根據雙曲線的對稱性可知A，B關于原點對稱，
設A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y），
則

x12

m2

-

y12

n2

=1，有k_PA•k_PB=-

m2

n2

=-2，∴

m2

n2

=2．
∴e=

1- n2 m2

=

1- 1 2

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．涉及了雙曲線的對稱性質，考查了學生對雙曲線基礎知識的全面掌握．