Question

設函數，其中為常數．

（1）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（2）若函數的有極值點，求的取值范圍及的極值點；

（3）求證對任意不小于3的正整數，不等式都成立．

Answer 1

（1）函數在定義域上單調遞增．

       （2）當且僅當時有極值點；當時，有唯一最小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點    

     （3）證明見解析。

解析:

（1）由題意知，的定義域為，

     …… 1分

當時， ，函數在定義域上單調遞增．   …… 2分

（2）①由（Ⅰ）得，當時，函數無極值點．

………3分

②當時，有兩個不同解，

時，，

此時，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：時，有唯一極小值點，   …… 5分

ii)   當時，0＜＜1 此時，，隨的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點；綜上所述：當且僅當時有極值點；當時，有唯一最小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點       …… 8分

（3）由(2)可知當時，函數，

此時有唯一極小值點

且          …… 9分

                 

…… 11分

令函數 …… 12分

    …… 14分