Question

已知橢圓過點，，P（x，y）是橢圓上任一點，O是坐標原點，△PAB橢圓C的內接三角形，且O是△PAB的重心．
（1）求a、b的值，并證明AB所在的直線方程為xx+2yy+1=0；
（2）探索△PAB的面積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，求出它的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓過點，，能求出a、b的值．設線段AB的中點為M，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由O是△PAB的重心，能證明直線AB的方程為xx+2yy+1=0．
（2）由，得，由此能求出|AB|=|x₁-x₂|=，由此能推導出△PAB的面積為定值．
解答：解：（1）∵橢圓過點，，
∴，解得，∴，…（2分）
設線段AB的中點為M，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵O是△PAB的重心，∴，
∴直線AB的方程為y+=-（x+），
又∵，
∴直線AB的方程轉化為xx+2yy+1=0，
且當直線AB的斜率不存在時，，y=0，
直線AB的方程為x=，也符合方程xx+2yy+1=0．…（6分）
（2）由，得，
∴x₁+x₂=-x，，
∴|x₁-x₂|==|y|，
|AB|=|x₁-x₂|=，
P（x，y）到xx+2yy+1=0的距離d==，
∴S_△PAB==•=，
∴△PAB的面積為定值…（12分）
點評：本題考查直線方程的求法，考查三角形面積的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數學思想的要求較高．解題時要認真審題，仔細解答，注意直線與圓錐曲線位置關系的綜合應用．