Question

【題目】如圖所示，圓錐的軸截面為等腰直角△SAB，Q為底面圓周上一點.

(1)若QB的中點為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ；

(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圓錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（Ⅱ）連接OC、AQ，由三角形中位線定理可得OC∥AQ，由圓周角定理我們可得OC⊥BQ，由圓錐的幾何特征，可得SO⊥BQ，進而由線面垂直的判定定理，得到QB⊥平面SOC，則OH⊥BQ，結合OH⊥SC及線面垂直的判定定理得到OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）若∠AOQ=60°，易得∠OBQ=∠OQB=30°，又由我們求出圓錐的底面半徑OA長及圓錐的高SO，即可得到圓錐的體積及表面積．

試題解析：（1）連接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，

∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC．

∵OH平面SOC，∴QB⊥OH，

又∵OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB．

（2）連接AQ．∵Q為底面圓周上的一點，AB為直徑，

∴AQ⊥QB．

在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，

∴AB=＝4．

∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝AB＝2，

∴V圓錐＝π·OA2·SO＝．

S側=．