Question

已知圓M的方程為x²+（y-2）²=1，直線l的方程為x-2y=0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B。
（1）若∠APB=60°，求線段AB的長；
（2）當∠APB最大時，求點P的坐標；
（3）求證：經過A、P、M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標。

Answer 1

解：（1）由題意知，△PAB為等邊三角形，所以線段AB的長就是切線長PA，
法一：∵∠APB=60°，由題可知MP=2，
∴；
法二：∵∠APB=60°，
∴等腰三角形MAB中，∠AMB=120°
而半徑MA=1，
∴；
（2）記∠APB=2θ，則在直角三角形MAP中，有，
當∠APB最大時，有MP最小，此時MP垂直于直線直線l：x-2y=0，
設P（2m，m），
∵M（0，2），
∴，
∴，
∴點P坐標為；
（3）設P（2m，m），MP的中點，因為PA是圓M的切線，
所以經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為：
化簡得：，
此式是關于m的恒等式，
故解得或，
所以經過A，P，M三點的圓必過定點（0，2）或（1，1）。