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已知函數f(x),(x∈D),若同時滿足以下條件:
①f(x)在D上單調遞減或單調遞增
②存在區間[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[a,b],那么稱f(x)(x∈D)為閉函數.
(1)求閉函數f(x)=-x3符合條件②的區間[a,b];
(2)判斷函數y=2x+lgx是不是閉函數?若是請找出區間[a,b];若不是請說明理由;
(3)若y=k+是閉函數,求實數k的取值范圍.
【答案】分析:(1)由y=-x3在R上單減,可得,可求a,b
(2)由函數y=2x+lgx在(0,+∞)單調遞增可知,結合對數函數的單調性可判斷
(3)易知y=k+在[-2,+∞)上單調遞增.設滿足條件B的區間為[a,b],則方程組有解,方程x=k+至少有兩個不同的解,即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有兩個都不小于k的不根.結合二次方程的實根分布可求k的范圍
另解:(1)易知函數f(x)=-x3是減函數,則有,可求
(2)取特值說明即可,不是閉函數.
(3)由函數f(x)=k+是閉函數,易知函數是增函數,則在區間[a,b]上函數的值域也是[a,b],說明函數f(x)圖象與直線y=x有兩個不同交點,結合函數的 圖象可求
解答:解:(1)∵y=-x3在R上單減,所以區間[a,b]滿足
解得a=-1,b=1
(2)∵函數y=2x+lgx在(0,+∞)單調遞增
假設存在滿足條件的區間[a,b],a<b,則

∴lgx=-x在(0,+∞)有兩個不同的實數根,但是結合對數函數的單調性可知,y=lgx與y=-x只有一個交點
故不存在滿足條件的區間[a,b],函數y=2x+lgx是不是閉函數
(3)易知y=k+在[-2,+∞)上單調遞增.設滿足條件B的區間為[a,b],則方程組
有解,方程x=k+至少有兩個不同的解
即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有兩個都不小于k的不根.
,即所求.
另解:(1)易知函數f(x)=-x3是減函數,則有,解得,
(2)∵函數y=2x+lgx在(0,+∞)單調遞增
假設存在滿足條件的區間[a,b],a<b,則

∴lgx=-x在(0,+∞)有兩個不同的實數根,但是結合對數函數的單調性可知,y=lgx與y=-x只有一個根
所以,函數y=2x+lgx是不是閉函
(3)由函數f(x)=k+是閉函數,易知函數是增函數,則在區間[a,b]上函數的值域也是[a,b],說明函數f(x)圖象與直線y=x有兩個不同交點,令k+,則有
k=x-=,(令t=),如圖
則直線若有兩個交點,則有k
點評:本題主要考查了函數的單調性的綜合應用,方程的解與函數的交點的相互轉化關系的應用,綜合應用了函數的知識及數形結合思想、轉化思想.
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π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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