Question

【題目】設函數 ，若函數 在 處與直線 相切．
（Ⅰ）求實數 的值；
（Ⅱ）求函數 在 上的最大值．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)f′(x)＝ －2bx ， ∵函數f(x)在x＝1處與直線y＝－ 相切，
∴ 解得
(Ⅱ)由(1)知， ，
當 ≤x≤e時，令f′(x)>0，得 ≤x<1，
令f′(x)<0，得1<x≤e， ∴f(x)在[ ，1)上是增加的，
在(1，e]上是減少的， ∴f(x)max＝f(1)＝－ .
【解析】本題主要考查導數的幾何意義和利用導數求解最值問題。第一小題主要利用導數的幾何意義，根據函數與直線相切，可得直線是函數在處的切線，列出方程組即可。第二小題直接根據函數求導，利用導數求出函數的單調區間，根據單調性求出區間上的最大值。
【考點精析】認真審題，首先需要了解導數的幾何意義(通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．