Question

已知正項數列{a_n}滿足：

an

-

an-1

=1，（n∈N⁺，n≥2），且a₁=4．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求證

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1（n∈N⁺）

Answer 1

分析：（1）由等差數列的定義可知數列{

an

}是等差數列，首項是2，公差為1，從而求出

an

的通項公式，即可求出{a_n}的通項公式；
（2）根據

1

ak

=

1

(k+1)2

＜

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

，代入

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

可證得不等式．

解答：解：（1）由題意可知數列{

an

}是等差數列，首項是2，公差為1；
∴

an

=2+(n-1)×1=n+1
∴a_n=（n+1）²
（2）證明：

1

ak

=

1

(k+1)2

＜

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式，以及利用放縮法和裂項求和法進行證明不等式，屬于中檔題．