Question

設函數f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e為自然對數的底數）

（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；

（2）是否存在一次函數h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數的表達式，若不存在，說明理由：

3）數列{}中，a₁＝1，＝g（）（n≥2），求證：＜＜＜1且＜．

 

Answer 1

【答案】

（1）最小值0；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用導數求解即可；（2）假設存在，，，然后利用導數求出最小值判斷即可；（3）先證遞減且由（2）知時，又在上遞增，所以當時，總有，即也成立，然后利用數學歸納法證明.

試題解析：（1）

易知時，時

所以在上遞減，而在上遞增                   2分

故時，取最小值0                          3分

（2）由（1）可知，

所以若存在一次函數使得

且總成立，則，即；

所以可設，代入得恒成立，

所以，所以，，

此時設，則，

易知在上遞減，在上遞增，

所以，即對一切恒成立；

綜上，存在一次函數符合題目要求                          6分

（3）先證遞減且

由（2）知時，又在上遞增，所以當時，

總有，即也成立

下面用數學歸納法證明

（1）時，因為，所以成立；

（2）假設時，結論成立，即

由于時，，又在上遞增，

則，即也成立

由（1）（2）知，恒成立；而時

所以遞減

綜上所述                          9分

所以

                          12分

考點：利用導數求函數最值、數學歸納法證明不等式、函數構造、利用導數研究函數單調性.