Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為,它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線x=2與橢圓交于P,Q兩點,P點位于第一象限,A,B是橢圓上位于直線x=2兩側的動點.

①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;

②當點A,B運動時,滿足∠APQ=∠BPQ,問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ②

【解析】

(1)根據拋物線焦點，求得b，再由離心率和橢圓中a、b、c的關系求得a、c的值，進而得到橢圓的標準方程。

(2)設出A、B的坐標，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理求得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4；由直線x=2與橢圓交于P,Q兩點可求得P,Q兩點的坐標，則四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ，即可得到面積的最大值；設出直線方程，聯立橢圓方程，化簡得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理得到AB斜率的表達形式，即可得到斜率為定值。

(1)設橢圓C的方程為=1(a>b>0),由題意可得它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點(0,),∴b=.

再根據離心率,求得a=2,

∴橢圓C的方程為=1.

(2)①設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為y=x+t,代入橢圓C的方程化簡可得x2+2tx+2t2-4=0,由Δ=4t2-4(2t2-4)>0,求得-2<t<2.

由根與系數的關系可得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.

在=1中,令x=2求得P(2,1),Q(2,-1),

∴四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ=·PQ·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=,

故當t=0時,四邊形APBQ的面積S取得最大值為4.

②當∠APQ=∠BPQ時,PA,PB的斜率之和等于零,設PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,PA的方程為y-1=k(x-2),把它代入橢圓C的方程化簡可得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,

∴x2+2=.

同理可得直線PB的方程為y-1=-k(x-2),x2+2=,

∴x1+x2=,x1-x2=.

∴AB的斜率k=

=

=

=.