Question

已知a>0，數列滿足a₁=a，a_n+1=a+，n=1，2，…．

（1）已知數列極限存在且大于零，求（將A用a表示）；

（2）設b_n=a_n-A，n=1，2，…，證明：b_n+1=；

（3）若對n=1，2…都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查數列、數列極限的概念和數學歸納法，考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力． （1）解：存在，且A=(A>0)，對an+1=a+兩邊取極限得． A=a+．解得A=．又A>0，∴ A=． （2）證明：由an=bn+A，an+1=a+得    bn+1+A=a+． ∴ ． 即bn+1=對n=1，2，…都成立． （3）解：令． ∴ ∴ -a£1，解得a³． 現證明當a³時，對n=1，2，…都成立． ①當n=1時結論成立（已驗證）． ②假設當n=k(k³1)時結論成立，即，那么． 故只須證明，即證對a³成立． 由于， 而當a³時，-a£1，∴ A³2． ∴ ． 故當a³時，． 即n=k+1時結論成立． 根據①和②，可知結論對一切正整數都成立． 故對n=1，2…都成立的a的取值范圍為．