Question

（本題滿分14分）以下是有關橢圓的兩個問題：

問題1：已知橢圓，定點A(1, 1)，F是右焦點，P是橢圓上動點，則有最小值；

問題2：已知橢圓，定點A (2, 1)，F是右焦點，

P是橢圓上動點，有最小值；

(Ⅰ)求問題1中的最小值，并求此時P點坐標；

(Ⅱ)試類比問題1，猜想問題2中的值，并談談你作此猜想的依據．

 

Answer 1

【答案】

．⑴，當且僅當A, P, M三點共線時取到最小值，此時點P的坐標為（）；

⑵時|PA|+m|PF|=|PA|+med =|PA|+d，當P、A、B三點共線時，有最小值．

【解析】本試題主要是考查了橢圓中距離的最值問題的求解，

（1）在第一問題中利用第二定義可知

故，當且僅當A, P, M三點共線時取到最小值，此時點P的坐標為（）；

（2）猜想（8分）②理由：問題1中的數是橢圓的離心率的倒數，猜想問題2中的常數m也是橢圓離心率的倒數，也用上述的方法得到結論。

解：⑴注意到橢圓的離心率，右焦點F()，右準線．過點P作準線的垂線，垂足為M，由橢圓第二定義，

故，當且僅當A, P, M三點共線時取到最小值，此時點P的坐標為（）；（6分）

⑵①猜想（8分）②理由：問題1中的數是橢圓的離心率的倒數，猜想問題2中的常數m也是橢圓離心率的倒數（9分）

另一方面，從解題角度來看，問題1利用橢圓的第二定義，問題2也可利用類似方法解決最小值問題：設點P到橢圓的右準線距離為d，由橢圓第二定義，|PF|=ed，則|PA|+m|PF|=|PA|+med．當me=1，即時|PA|+m|PF|=|PA|+med =|PA|+d，當P、A、B三點共線時，有最小值．（14分）（配合圖像說明）