Question

函數f（x）的定義域為D={x|x≠0}，且滿足對于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（4）=1，f（3x+4）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）賦值法：令x₁=x₂=1，可求f（1），令x₁=x₂=-1，可求f（-1）；
（2）令x₁=-1，根據函數奇偶性的定義即可判斷；
（3）由f（4）=1，得f（16）=f（4）+f（4）=2，從而不等式可化為f（3x+4）＜f（16），借助函數的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”，解不等式組即可．

解答：解：（1）令x₁=x₂=1，有f（1）=f（1）+f（1），
所以f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f（1）=f（-1）+f（-1）=0，
所以f（-1）=0．
（2）f（x）為偶函數，證明如下：
令x₁=-1，有f（-x₂）=f（-1）+f（x₂），
∴f（-x₂）=f（x₂），
又定義域關于原點對稱，所以f（x）為偶函數．
（3）因為f（4）=1，所以f（16）=f（4）+f（4）=2，
所以f（3x+4）＜f（16），
又函數為偶函數，所以f（|3x+4|）＜f（16），
所以

-16＜3x+4＜16 3x+4≠0

，解得x的取值范圍是：-

20

3

＜x＜4且x≠-

4

3

．

點評：本題考查抽象函數的奇偶性、單調性及抽象不等式的求解，定義、性質是解決抽象函數問題的基本方法．