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(22)

已知動圓過定點，且與直線相切，其中.

（I）求動圓圓心的軌跡的方程；

（II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

22、

解：（I）如圖，

設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：

即動點到定點與定直線的距離相等。由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為。

（II）如圖，設，由題意得。

又直線的傾斜角滿足，故。

∴直線的斜率存在，否則，直線的傾斜角之和為。

從而設直線的方程為，

顯然，將與聯立，消去，

得

由韋達定理知（*）

由，

得

將（*）式代入上式整理化簡，得

。

此時，直線的方程可表示為：，

即。

所以直線恒過定點。


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知動點P到定直線l：x=2
2
的距離與點P到定點F(
2
，0)之比為
2
．
（1）求動點P的軌跡c的方程；
（2）若點N為軌跡C上任意一點（不在x軸上），過原點O作直線AB交（1）中軌跡C于點A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問k1•k2是否為定值？
（3）若點M為圓O：x2+y2=4上任意一點（不在x軸上），過M作圓O的切線，交直線l于點Q，問MF與OQ是否始終保持垂直關系？

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•靜安區二模）已知動圓過定點F(
1
2
，0)，且與定直線l：x=-
1
2
相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）設點O為坐標原點，P、Q兩點在動點M的軌跡上，且滿足OP⊥OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面積；
（3）設一直線l與動點M的軌跡交于R、S兩點，若
OR
•
OS
=-1且2
2
≤|RS|＜4
14
，試求該直線l的傾斜角的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=ax（a＞0），拋物線上一點N(x0， 2
2
) (x0＞1)到拋物線的焦點F的距離是3．
（1）求a的值；
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物線C于A、B兩點．
（i）若直線l的斜率為1，求AB的長；
（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：044

(2005山東，22)如下圖,已知動圓過定點，且與直線相切，其中p＞0，

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(2)設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α、β變化且α+β為定值θ(0＜θ＜π)時，證明：直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

(22)已知動圓過定點，且與直線相切，其中.

（I）求動圓圓心的軌跡的方程；

（II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

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