Question

如圖數表滿足：（1）第n（n＞1）行首尾兩數均為n，第一行為一個數1；（2）表中的遞推關系：從第三行起的非首尾兩數中的每一個數等于其上一行中它的“肩膀上”的兩個數的和．現記第n（n＞1）行第2個數為a_n，如a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11…，則可以得到遞推關系：a_n=

a_n-1+（n-1）

，由此通過有關求解可以求得：

a2011-2

2009

=

1006

（用數字填寫）

Answer 1

分析：由圖表設第n（n＞1）行第2個數為a_n，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11…，n≥2，則a_n=a_n-1+（n-1），n≥2．由此能導出a_n=

n(n-1)

2

+1．故a₂₀₁₁=

2011×2010

2

+1=2021056，由此能求出

a2011-2

2009

的值．

解答：解：由圖表設第n（n＞1）行第2個數為a_n，
∵a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11…，
∴n≥2，則a_n=a_n-1+（n-1），n≥2．
∵a₂=1+1，
a₃=1+1+2，
a₄=1+1+2+3，
a₅=1+1+2+3+4，
a_n=1+

1

2

（1+n-1）（n-1）=

n(n-1)

2

+1．
∴a₂₀₁₁=

2011×2010

2

+1=2021056，
∴

a2011-2

2009

=

2021056-2

2009

=1006．
故答案為：a_n-1+（n-1），1006．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，合理地利用數列的遞推公式進行解題．