Question

（Ⅰ）設為正數，且，求證：；
（Ⅱ）設為正數，，求證：

Answer 1

（Ⅰ）為正數，且，由柯西不等式有：

，
當且僅當，即時等號成立，
．                                ……………6分
（Ⅱ）證法一：用數學歸納法證明：
①當時，左邊=右邊； 當時，左邊=右邊；
當時，左邊右邊，
所以當時，不等式成立；
②假設當時不等式成立，即，則當時，
是正數，，

， ，

所以當時不等式也成立，
綜合①②得當為正數，時，成立． ……………12分
證法二：用構造法證明：
設，則：，
是正數，
，又，，，
即當為正數，時，成立．

略