Question

如圖所示，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值.

Answer 1

AP∶PM=4∶1

解析:

方法一  設e₁=,e₂=,

則=+=-3e₂-e₁，

=+=2e₁+e₂.

因為A、P、M和B、P、N分別共線，所以存在實數、，使==-3e₂-e₁，

==2e₁+e₂，∴=-=（+2）e₁+（3+）e₂，

另外=+=2e₁+3e₂，

，∴，

∴=,=,∴AP∶PM=4∶1.

方法二  設=，

∵=（+）=+，

∴=+.

∵B、P、N三點共線，∴-=t(-),

∴=(1+t)-t

∴

∴+=1，=，∴AP∶PM=4∶1.