Question

自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響。用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x₁＞0，不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c。（Ⅰ）求x_n+1與x_n的關系式；
（Ⅱ）猜測：當且僅當x₁，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）（Ⅲ）設a=2，b=1，為保證對任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論。

Answer 1

解：（Ⅰ）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，
死亡量為，
因此，，
即。
（Ⅱ）若每年年初魚群總量保持不變，則x_n恒等于x₁，n∈N*，
從而由（*）式，得恒大于0，n∈N*，
所以，，
即，
因為x₁>0，所以a＞b，
猜測：當且僅當a＞b，且時，每年年初魚群的總量保持不變.
（Ⅲ）若b的值使得x_n＞0，n∈N*， 由x_n+1=x_n(3-b-x_n)， n∈N*，
知0＜x_n＜3-b，n∈N*，
特別地，有0＜x₁＜3-b，即0＜b＜3-x₁，
而x₁∈(0， 2)，所以b∈(0，1]， 由此猜測b的最大允許值是1。
下證：當x₁∈(0， 2) ，b=1時，都有x_n∈(0， 2)， n∈N*，
①當n=1時，結論顯然成立；
②假設當n=k時結論成立，即x_k∈(0， 2)，則當n=k+1時，x_k+1=x_k(2-x_k)＞0，
又因為x_k+1=x_k(2-x_k)=-(x_k-1)²+1≤1＜2，
所以x_k+1∈(0， 2)，故當n=k+1時結論也成立；
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有x_n∈(0，2)，
綜上所述，為保證對任意x₁∈(0， 2)， 都有x_n＞0， n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1。