Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線方程為，其頂點到焦點的距離為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若點，設直線與拋物線交于、兩點，且直線、的斜率之和為，試證明：對于任意非零實數，直線必過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意求出拋物線的焦點坐標，可求得的值，進而可求得拋物線的方程；

（2）設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，根據直線、的斜率之和為求得實數的值，即可求得直線所過定點的坐標.

（1），且拋物線的頂點到焦點的距離為，

則該拋物線的焦點坐標為，，解得，

因此，該拋物線的方程為；

（2）設點、，

將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去并整理得，

由韋達定理得，.

直線的斜率為，同理直線的斜率為，

由題意得，

上式對任意的非零實數都成立，則，解得，

所以，直線的方程為，該直線過定點.