Question

【題目】已知函數（，）．

（1）若在上單調遞減，求的取值范圍；

（2）當時，判斷關于的方程的解的個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）只有一個解.

【解析】試題分析：

（1）根據在恒成立求解即可，求解時可選用分離參數的方法．（2）由題意可得即判斷方程根的個數，令，利用導數可得存在，使得 時 單調遞減，當 時單調遞增，又，→時，→，結合圖象可得當，時，方程有一個解，即方程只有一個解．

試題解析：

（1）∵，

∴，

由題意得在恒成立，

即在恒成立，

設，

則，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，

∴．

∴實數的取值范圍為．

（2）由題意得，

∴，

令，

則，

令，

則，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，

又，，

∴存在，使得 時， 單調遞減；

當 時，，單調遞增，

又，→時，→，

∴當，時，方程有一個解，

∴當時，方程只有一個解．