Question

已知函數f（x）=xln（1+x）-a（x+1），其中a為常數．
（I）當x∈[1，+∞）時，f'（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍；
（II）求g(x)=f′(x)-

ax

x+1

的單調區間．

Answer 1

分析：（I）先把f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0轉化為a＜ln（1+x）+

x

1+x

，再利用導函數研究出不等式右邊的單調性，進而求出其最值即可求出實數a的取值范圍；
（II）先求出函數g（x）的導函數，分情況得到導函數值為正和為負對應的變量的取值范圍，進而求出其單調區間．

解答：解：（I）由f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0
得a＜ln（1+x）+

x

1+x

，
令h（x）=ln（1+x）+

x

1+x

，則h'（x）=

1

1+x

+

1

(1+x) 2

．
當x∈[1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴a＜h（1）=

1

2

+ln2．
∴實數a的取值范圍是（-∞，

1

2

+ln2）．
（II）g（x）=ln（1+x）+

(1-a)x

x+1

-a，x∈（-1，+∞）
則g'（x）=

1

1+x

-

1-a

(x+1) 2

=

x+2-a

(x+1)2

①當a＞1時，x∈（-1，a-2），g'（x）＜0，g（x）是減函數，
x∈（a-2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）是增函數．
②當a≤1時，x∈（-1，+∞），g'（x）＞0，g（x）是增函數．
所以：當a＞1時，減區間為（-1，a-2），增區間為（a-2，+∞）；
當a≤1時，增區間為（-1，+∞）．

點評：本題第二問主要研究利用導數研究函數的單調性．利用導數研究函數的單調性時，一般結論是：導數大于0對應區間為原函數的遞增區間；導數小于0對應區間為原函數的遞減區間．