Question

對有n（n≥4）個元素的總體{1，2，3，…，n}進行抽樣，先將總體分成兩個子總體{1，2，3，…，m}和{m+1，m+2，…，n}（m是給定的正整數，且2≤m≤n-2），再從每個子總體中各隨機抽出2個元素組成樣本，用p_ij表示元素i和j同時出現在樣本中的概率．
（Ⅰ）若n=8，m=4，求P₁₈；
（Ⅱ）求p_1n；
（Ⅲ）求所有p_ij（1≤i＜j≤n）的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意可知兩個子總體為{1，2，3，4}，{5，6，7，8}，利用組合的方法求出隨機抽取2個元素所有的抽法和元素1和8同時出現在樣本中的抽法，利用古典概型的概率公式即可求得P₁₈；
（Ⅱ）利用組合的方法求出從{1，2，…，m}中隨機抽取2個元素所有的抽法有

C

2 m

C

2 n-m

種及從{m+1，m+2，…，n}中隨機抽取2個元素所有的抽法有有

C

1 m-1

C

1 n-m-1

種，由古典概型的概率公式求出概率．
（Ⅲ）根據i，j所在的子集不同，故分三類分別討論，研究當1≤i＜j≤m時，當1≤i≤m＜j≤n時，當m＜i＜j≤n時的概率以及組數，最后即可求得所有p_ij（1≤i＜j≤n）的和．

解答：解：（Ⅰ）當n=8，m=4時，兩個子總體為{1，2，3，4}，{5，6，7，8}，
從每個子總體中各隨機抽出2個元素組成樣本，共有

C

2 4

C

2 4

=36種抽法，
元素1和8同時出現在樣本中的抽法，共有

C

1 3

C

1 3

=9種抽法，
∴P₁₈=

9

36

=

1

4

；
故P₁₈=

1

4

；
（Ⅱ）p_1n表示元素1和n同時出現在樣本中，
∴在{2，3，…，m}中再抽取一個，在{m+1，m+2，…，n-1}中也再抽取一個，
∴共有

C

1 m-1

C

1 n-m-1

種抽法，
又∵在兩個子總體{1，2，3，…，m}和{m+1，m+2，…，n}中各隨機抽出2個元素組成樣本，
∴共有

C

2 m

C

2 n-m

種抽法，
∴p_1n=

C 1 m-1 C 1 n-m-1

C 2 m C 2 n-m

=

4

m(n-m)

；
（Ⅲ）∵p_ij表示元素i和j同時出現在樣本中的概率，
又i，j所在的子集不同，故應分三類：
①當1≤i＜j≤m時，p_ij=

C 2 2 C 2 n-m

C 2 m C 2 n-m

=

1

C 2 m

，這樣的（i，j）中共有

C

2 m

組；
②當1≤i≤m＜j≤n時，p_ij=

C 1 m-1 C 1 n-m-1

C 2 m C 2 n-m

=

4

m(n-m)

，這樣的（i，j）中共有

C 1 m C

1 n-m

組；
③當m＜i＜j≤n時，p_ij=

C 2 m C 2 2

C 2 m C 2 n-m

=

1

C 2 n-m

，這樣的（i，j）中共有

C

2 n-m

組．
綜上所述，所有的p_ij（1≤i＜j≤n）的和等于

1

C 2 m

•

C

2 m

+

4

m(n-m)

•

C 1 m C

1 n-m

+

1

C 2 n-m

•

C

2 n-m

=6，
故所有p_ij（1≤i＜j≤n）的和為6．

點評：本題考查古典概型求解，考查閱讀、分析計算、分類討論的能力．求一個事件的概率關鍵是判斷出事件所屬的概率模型，然后選擇合適的概率公式進行計算．屬于中檔題．