Question

已知函數上為增函數，且，，．

（1）求的值；

（2）當時，求函數的單調區間和極值；

（3）若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）函數的單調遞增區間是，遞減區間為，極大值；

（3）的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（1）利用在上恒成立，

轉化成在上恒成立，從而只需，

即，結合正弦函數的有界性，得到，求得；

（2）研究函數的單調性、極值，一般遵循“求導數，求駐點，討論區間導數值的正負，確定單調性及極值”，利用“表解法”，往往形象直觀，易于理解.

（3）構造函數，

討論，時，的取值情況，根據在上恒成立，得到在上單調遞增，利用大于0，求得.

試題解析：（1）由已知在上恒成立，

即，∵，∴，

故在上恒成立，只需，

即，∴只有，由知；             4分

（2）∵，∴，，

∴，

令，則，

∴，和的變化情況如下表：

	+	0
		極大值

即函數的單調遞增區間是，遞減區間為，有極大值；

        7分

（3）令，

當時，由有，且，

∴此時不存在使得成立；

當時，，

∵，∴，又，∴在上恒成立，

故在上單調遞增，∴，

令，則，

故所求的取值范圍為．                           12分

考點：應用導數研究函數單調性、極值