Question

已知函數 

（I）函數在區間上是增函數還是減函數？證明你的結論；

（II）當時，恒成立，求整數的最大值；

（Ⅲ）試證明： 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在區間上是減函數；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導即得；（Ⅱ）將分離參數得：在上恒成立，取，則，接下來就利用導數求的最小值  注意到題中要求k為整數，說明只需找出這個最小值所在的整數區間，而不用求出這個最小值

（Ⅲ）注意用前面的結論 由（Ⅱ）可得k的最大值為3，取k=3得：，

待證不等式等價于：

 

再對照，顯然應考慮將此不等式變形：

，

再令，

這樣依次取再將所得不等式相加即得  

試題解析：（Ⅰ）由題         2分

故在區間上是減函數;    3分

（Ⅱ）當時，恒成立，即在上恒成立，取，則，         5分

再取則

故在上單調遞增，

而，       7分

故在上存在唯一實數根，

故時，時，

故故      8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，      10分

又

                  12分

即：           14分

考點：1、導數的應用；2、不等式的證明