Question

如圖，點分別是橢圓C:的左、右焦點，過點作軸的垂線，交橢圓的上半部分于點，過點作的垂線交直線于點.

（1）如果點的坐標為（4,4），求橢圓的方程；
（2）試判斷直線與橢圓的公共點個數，并證明你的結論.

Answer 1

（1）；（2）1個.

試題分析：（1）要求橢圓方程，由于，需要通過已知條件表示出點的坐標，由于軸，則，代入橢圓方程求得點的縱坐標，從而求得直線的斜率，根據求的直線的斜率，有直線方程的點斜式求出直線的方程，直線的方程與聯立求得點的坐標，從而求得、，由于橢圓中可求出，即可求得橢圓的方程；（2）要判斷直線與橢圓的公共點個數，需要求出直線的方程，與橢圓方程聯立，消去或得到關于或得一元二次方程，通過判斷這個方程的的根的情況，即可得出所求的交點的個數.
試題解析：解方程組得點的坐標為，，
 ，，直線的方程為，
將代入上式解得，.               4分
（1）因為點的坐標為（4,4），所以，解得，，
橢圓的方程為.                           7分
（2），則 點的坐標為，
，
的方程為，即，        9分
將的方程代入橢圓的方程得，
    ①
，
方程①可化為，
解得，
所以直線與橢圓只有一個公共點                    13分