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（本題滿分18分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題8分）

設數列是等差數列，且公差為，若數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.

（1）若，求證：該數列是“封閉數列”；

（2）試判斷數列是否是“封閉數列”，為什么？

（3）設是數列的前項和，若公差，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由.

略


解析:

（1）證明：，--------------------------------------------1分

對任意的，有

，---------------------------------------------3分

于是，令，則有-------------------------5分（2），---------------------------------------------------------7分

令，-----------------------------------------9分

所以數列不是封閉數列；---------------------------------------------------10分

（3）解：由是“封閉數列”，得：對任意，必存在使

成立，----------------------------------------------------11分

于是有為整數，又是正整數。-------------------------------13分

若則，所以，-----------------------14分

若，則，所以，------------------------16分

若，則，于是

，所以，------------------------------------------17分

綜上所述，，顯然，該數列是“封閉數列”。---------------- 18分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）

在平行四邊形中，已知過點的直線與線段分別相交于點。若。

（1）求證：與的關系為；

（2）設，定義函數，點列在函數的圖像上，且數列是以首項為1，公比為的等比數列，為原點，令，是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由。

（3）設函數為上偶函數，當時，又函數圖象關于直線對稱， 當方程在上有兩個不同的實數解時，求實數的取值范圍。

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科目：高中數學 來源：2012屆上海市崇明中學高三第一學期期中考試試題數學 題型：解答題

（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
對于數列，如果存在一個正整數，使得對任意的（）都有成立，那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，以下簡稱周期。例如當時是周期為的周期數列，當時是周期為的周期數列。
（1）設數列滿足（），（不同時為0），且數列是周期為的周期數列，求常數的值；
（2）設數列的前項和為，且．
①若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
②若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
（3）設數列滿足（），，，，數列的前項和為，試問是否存在，使對任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，   說明理由；

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年上海市高三第一學期期中考試試題數學 題型：解答題

（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）

對于數列，如果存在一個正整數，使得對任意的（）都有成立，那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，以下簡稱周期。例如當時是周期為的周期數列，當時是周期為的周期數列。

    （1）設數列滿足（），（不同時為0），且數列是周期為的周期數列，求常數的值；

    （2）設數列的前項和為，且．

①若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；

②若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；

    （3）設數列滿足（），，，，數列 的前項和為，試問是否存在，使對任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，    說明理由；

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年上海市十三校高三上學期第一次聯考試題文科數學 題型：解答題

  (本題滿分18分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分)

已知函數，其中.

(1)當時，設，，求的解析式及定義域；

(2)當，時，求的最小值；

(3)設，當時，對任意恒成立，求的取值范圍.

 

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科目：高中數學 來源：2010年上海市徐匯區高三第二次模擬考試數學卷（文） 題型：解答題

（本題滿分18分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題8分）

設數列是等差數列，且公差為，若數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.

（1）若，求證：該數列是“封閉數列”；

（2）試判斷數列是否是“封閉數列”，為什么？

（3）設是數列的前項和，若公差，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由.

 

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