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對定義域分別是Df，Dg的函數y=f（x），y=g（x）.規定：

函數h（x）=

（1）若函數f（x）=，g（x）=x2，寫出函數h（x）的解析式；

（2）求問題（1）中函數h（x）的值域；

（3）若g（x）=f（x+a），其中a是常數，且a∈［0，π］，請設計一個定義域為R的函數y=f（x）及一個a的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明.

解：（1）由已知

h(x)=

（2）當x≠1時，h（x）==x-1++2.

若x＞1，則h（x）≥4，其中等號當x=2時成立.

若x＜1，則h（x）≤0，其中等號當x=0時成立.

∴函數h（x）的值域是（-∞，0］∪{1}∪［4，+∞）.

（3）解法1：令f（x）=sin2x+cos2x，a=,

則g（x）= f（x+a）=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x-sin2x,

于是h(x)=f(x)·f(x+a)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x.

解法2：令f（x）=1+sin2x，a=，

則g（x）=f（x+a）=1+sin［2（x+）］=1-sin2x，

于是h（x）=f（x）·f（x+a）=（1+sin2x）（1- sin2x）=1-2sin22x=cos4x.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對定義域分別是Df、Dg的函數y=f（x）、y=g（x），規定：函數h(x)=
f(x)•g(x)  當x∈Df且x∈Dg
f(x)          當x∈Df且x∉Dg
g(x)          當x∉Df且x∈Dg
．
（1）若函數f(x)=
1
x
，g（x）=x2+4，寫出函數h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數h（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對定義域分別是Df、Dg的函數y=f（x），y=g（x），規定：函數h（x）=
f(x)•g(x)    當x∈Df且x∈Dg
1      當x∈Df且x∉Dg
-1   當x∉Df且x∈Dg
．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，寫出h（α）的解析式；
（2）寫出問題（1）中h（α）的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對定義域分別是Df、Dg的函數y=f（x）、y=g（x），規定：函數h（x）=
f(x)•g(x)  (當x∈Df且x∈Dg)
f(x)  (當x∈Df且x∉Dg)
g(x)  (當x∉Df且x∈Dg)

（Ⅰ）若函數f(x)=
1
x-1
，g（x）=x2，寫出函數h（x）的解析式；
（Ⅱ）求問題（1）中函數h（x）的值域；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常數，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對定義域分別是Df、Dg的函數y=f(x)、y=g(x),規定:函數h(x)=

   

    若函數f(x)=-2x+3,x≥1;g(x)=x-2,x∈R,寫出函數h(x)的解析式.

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