Question

【題目】已知函數f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）
（1）當a= 時，求函數f（x）的單調區間；
（2）設g（x）=（x2﹣2x）ex ， 如果對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ax﹣（2a+1）+ ，

所以a= 時，f′（x）= ，

其單調遞增區間為（0， ），（2，+∞），單調遞減區間為（

（2）解：若要命題成立，只需當x∈（0，2]時，f（x）max＜g（x）max．

由g′（x）=（x2﹣2）ex可知，當x∈（0，2]時，g（x）在區間（0， ）上單調遞減，在區間（ ，2]上單調遞增，

g（0）=g（2）=0，故g（x）max=0，

所以只需f（x）max＜0．

對函數f（x）來說，f′（x）=ax﹣（2a+1）+ =

當a≤0時，由x∈（0，2]，f′（x）≥0，函數f（x）在區間（0，2]上單調遞增，

f（x）max=f（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，故ln2﹣1＜a≤0

當0＜a≤2時， ，由x∈（0，2），ax﹣1≥0，故f′（x）≥0，

函數f（x）在區間（0，2）上單調遞增，

f（x）max=f（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，a＞ln2﹣1

故0＜a≤2滿足題意

當a＞ 時， ，函數f（x）在區間（0， ）上單調遞增，在區間（ 上單調遞減，

f（x）max=f（ =﹣2lna﹣ ﹣2．

若a≥1時，顯然小于0，滿足題意；

若 時，可令h（a）=﹣2lna﹣ ﹣2， ，

可知該函數在 時單調遞減，

，滿足題意，所以a＞ 滿足題意．

綜上所述：實數a的取值范圍是（ln2﹣1，+∞）

【解析】（1）利用導數直接求單調區間；（2）若要命題成立，只需當x∈（0，2]時，f（x）max＜g（x）max ． 分別求出最大值即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．