Question

已知f0(x)=xex，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…fn(x)=fn-1′(x)，n∈N^*
（1）請寫出f_n（x）的表達式（不需要證明）；
（2）求f_n（x）的極小值；
（3）設gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，證明：a-b≥e^-4．

Answer 1

分析：（1）由f0(x)=xex，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…fn(x)=fn-1′(x)，n∈N^*，知f₁（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
f₂（x）=e^x+（x+1）e^x=（x+2）e^x，f3(x)=ex+(x+3)ex，…，由此能求出f_n（x）=（x+n）•e^x，n∈N^*
（2）由fn(x)=(x+n)ex，知fn′(x)=（x+n+1）e^x，由此能求出f_n（x）的極小值．
（3）由gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，知a-b=（n-3）²+e^-（n+1）．令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1），（x≥0）．由此能夠證明a-b≥e^-4．

解答：解：（1）∵f0(x)=xex，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…fn(x)=fn-1′(x)，n∈N^*
∴f₁（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
f₂（x）=e^x+（x+1）e^x=（x+2）e^x，
f3(x)=ex+(x+3)ex，
…
∴f_n（x）=（x+n）•e^x，n∈N^*
（2）∵fn(x)=(x+n)ex，
∴fn′(x)=（x+n+1）e^x，
∵x＞-（n+1）時，fn′(x)＞0；x＜-（n+1）時，fn′(x)＜0，
∴當x=-（n+1）時，f_n（x）取得極小值f_n（-（n+1））=-e^-（n+1）．
（3）∵gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，
g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，
∴a=g_n（-（n+1））=（n-3）²，b=f_n（-（n+1））=-e^-（n+1）．
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1）．
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1），（x≥0）
則h′（x）=2（x-3）-e^-（x+1），
∵h′（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，
∴h′（x）≥h′（0）=-6-e^-1，
∵h′（3）=-e^-4＜0，h′（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使得h′（x）=0．
∴0≤x≤x₀時，h′（x₀）＜0；當x＞x₀時，h′（x₀）＞0．
即h（x）在區間[x₀，+∞）上單調遞增；在區間[0，x₀）音調遞減，
∴h（x）_min=h（x₀）．
∵h′（3）=-e^-4＜0，h′（4）=2-e^-5＞0，
∴當n=3時，a-b取得最小值e^-4，
所以a-b≥e^-4．

點評：本題考查導數在求最大值、最小值中的應用，綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思想的要求較高．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．