Question

拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點是離心率為的雙曲線：32y²-mx²=1的一個焦點，正方形ABCD的兩個頂點A、B在拋物線E上，C，D兩點在直線y=x-4上，則該正方形的面積是

1. A.
   18或25
2. B.
   9或25
3. C.
   18或50
4. D.
   9或50

Answer 1

C
分析：離心率為的雙曲線：32y²-mx²=1，可解得m=32，此是一等軸雙曲線，求得它的焦點，再由拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點是離心率為的雙曲線：32y²-mx²=1的一個焦點，求得拋物線的標準方程，根據正方形ABCD的兩個頂點A、B在拋物線E上，C，D兩點在直線y=x-4上，求正方形的面積即可．
解答：由題意雙曲線的離心率為，故此雙曲線是一個等軸雙曲線，所以m=32
可得c²=+=，可得c=
由于拋物線與雙曲線的焦點相同，故p=，拋物線E：x²=y
令直線AB的方程是y=x-b，代入拋物線E：x²=y得x²=x-b，
故有x_A+x_B=1，x_A×x_B=-b
由此得弦長AB為×=
又直線AB與直線CD兩平行線的距離是
由題意知=，解得b=2，或b=6
當b=2時，正方形的邊長為=3，其面積是18
當b=6時，正方形的邊長為=5，其面積是50
故選C．
點評：本題考查拋物線的應用，解題的關鍵是根據題設條件解出拋物線的方程，然后設出直線AB的方程利用弦長公式用參數表示出弦長AB，再由兩平行線的間的距離公式求出兩平行線間的距離，由正方形的邊長相等建立關于參數的方程求出參數，本題運算量大，綜合性強，且都是符號運算，故解題時要嚴謹認真，避免出錯．