Question

【題目】已知斜三棱柱的棱長都是，側棱與底面成60°角，側面底面.

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）45°

【解析】

（1）根據題意，作于點，連接，由平面底面，平面，所以是側棱與底面所成的角，又因為點為的中點.，是正三角形，所以.，再由線面垂直的判定定理，得到平面，從而證得..

（2）由是平面與平面的一個交點，根據平面的基本性質，平面與平面有且僅有一條過點的交線，設為，根據面面平行的性質定理，得 ，，再由（1）知平面，所以平面，所以為所求銳二面角的平面角，然后再求解..

（1）如圖，作于點，連接.

∵平面底面，

平面，

為在底面上的射影，

，，

∴點為的中點.

是正三角形，

.

，

平面，

.

（2）是平面與平面的一個交點，

∴平面與平面有且僅有一條過點的交線，設為，如圖.

∵平面平面，

∴由兩平面平行的性質，知，又，

由（1）知平面，平面.

為所求銳二面角的平面角，

.

故平面與平面所成的銳二面角為45°.