Question

已知圓C的參數方程為

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），
（1）以原點O為極點、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，寫出圓C的極坐標方程；
（2）已知直線l經過原點O，傾斜角α=

π

6

，設l與圓C相交于A、B兩點，求O到A、B兩點的距離之積．

Answer 1

分析：（1）先求出曲線C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代換求得極坐標方程．
（2 設A，B對應的參數為t₁和t₂，以直線l的參數方程代入圓的方程整理得到t²+3t-1=0，由|OA|•|OB|=|t₁t₂|求出點O到A、B兩點的距離之積．

解答：解：（1）由

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

得

x- 3 =2cosθ y=2sinθ

，
兩式平方后相加得（x-

3

）²+y²=4，…（4分）
∴曲線C是以（

3

，0）為圓心，半徑等于2的圓．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρ2-2

3

ρCOSθ-1=0．
即曲線C的極坐標方程是ρ2-2

3

ρCOSθ-1=0 …（10分）
（2）直線的參數方程是

x= 3 2 t y= 1 2 t

（t是參數）．
因為點A，B都在直線l上，所以可設它們對應的參數為t₁和t₂，
圓化為直角坐標系的方程（x-

3

）²+y²=4，
以直線l的參數方程代入圓的方程整理得到 t²+3t-1=0  ①，
因為₁和t₂是方程①的解，從而 t₁t₁=-2．
所以|OA||OB|=t₁t₂|=|-1|=1．

點評：本題主要考查極坐標方程、參數方程及直角坐標方程的轉化，本題考查直線的參數方程以及參數的幾何意義，極坐標方程化為直角坐標方程，利用直線的參數方程中參數的幾何意義是解題的關鍵．