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    定義在(－1，1)上的函數f(x)滿足：對任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)= ．

    (1)求證：函數f(x)是奇函數；

    (2)如果當x∈(－1，0)時，有f(x)＞0，求證：f(x)在(－1，1)上是單調遞減函數；

    (3)在(2)的條件下解不等式：+＞0．

 

答案：
解析：

答案：(1)證明：令x＝y＝0，則f(0)＋f(0)＝f(0)，故f(0)＝0.

    令y＝－x，則f(x)+f(－x)==f(0)=0.

    ∴f(－x)＝－f(x)，

    即函數f(x)是奇函數．

    (2)證明：設x1＜x2∈(－1，1)，則

    f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=.

    ∵x1＜x2∈(－1，1)，

    ∴x2－x1＞0，－1＜x1x2＜1.

    因此，∴，即f(x1)＞f(x2).

    ∴函數f(x)在(－1，1)上是減函數．

    (3)解：不等式+＞0，化為＞.

    ∵函數f(x)在(－1，1)上是減函數，

    ∴

    解得：＜x＜－1.

    ∴原不等式的解集為{＜x＜－1．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的函數，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數，還是減函數，并用單調性定義證明你的結論；
（3）設f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數，當x∈[-1，0]時，函數解析式是f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析表達式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的值域．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數，當x∈[-1，0]時，函數解析式是f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析表達式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的值域．

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科目：高中數學 來源：專項題 題型：解答題

已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時，，
(Ⅰ)用定義證明：f(x)在[-1，1]上是增函數；
(Ⅱ)解不等式：；
(Ⅲ)若f(x)≤t2-2at+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍。

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年安徽省宣城市涇縣中學高一（上）12月段考數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的函數，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數，還是減函數，并用單調性定義證明你的結論；
（3）設f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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