Question

【題目】設是定義在R上的兩個函數，滿足， 滿足，且當時，，.若在區間上，關于的方程有8個不同的實數根，則k的取值范圍是______

Answer 1

【答案】

【解析】

由題可得是周期為4的函數,是周期為2的函數,轉化方程有8個不同的實數根為與在內有8個交點,利用函數圖像求解即可

由題,,所以的周期為；

因為,則的周期為2；

當時,,則的圖像為以為圓心,半徑為1的在軸上方的半圓；由,則當時,是以為圓心, 半徑為1的在軸下方的半圓,

由周期性畫出部分圖像,如圖所示,即時與在內有2個交點,

因為關于的方程有8個不同的實數根,則時與在內需有6個交點,則

①令與圓相切,此時有一個交點,則,則（與上半圓相切）或（與下半圓相切）；

②令過,此時有2個交點,則；令過,此時有2個交點,則；

假設在時有2個交點,即與圓的上半圓有2個交點,則,由函數的周期性,則在內有6個交點；

當時,圖像為圓的下半圓向右平移2個單位得到,則當時,與圓的下半圓有2個交點,由的周期為2,則當時,與也有2個交點,同理,則在內有6個交點；

綜上,

故答案為：