Question

設函數f（x）=2^x-1的反函數為f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范圍D；
（2）設H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)，當x∈D（D為（1）中所求）時函數H（x）的圖象與直線y=a有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據反函數的概念求出：f^-1（x）=log₂（x+1）再由log₂（x+1）≤log₄（3x+1），利用對數函數的單調性轉化為關于x的一元不等式組，解之即可．   
（2）先化簡得到：H(x)=

1

2

log2(3-

2

x+1

)再利用當x∈[0，1]時，3-

2

x+1

單調遞增，從而求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f^-1（x）=log₂（x+1），…（3分）       
由log₂（x+1）≤log₄（3x+1），∴

x+1＞0 3x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

…．（6分）    
解得0≤x≤1，∴D=[0，1]---．（8分）
（2）H(x)=log4(3x+1)-

1

2

log2(x+1)=

1

2

log2

3x+1

x+1

(0≤x≤1)，…..（10分）
∴H(x)=

1

2

log2(3-

2

x+1

)，…（12分）
當x∈[0，1]時，3-

2

x+1

單調遞增，
∴H（x）單調遞增，…．（14分）
∴H(x)∈[0，

1

2

]因此當a∈[0，

1

2

]時滿足條件．  …（16分）

點評：本小題主要考查反函數、函數單調性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．