Question

【題目】已知函數f（x）= +a是奇函數
（1）求常數a的值
（2）判斷f（x）的單調性并給出證明
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= +a是奇函數，可得f（x）+f（﹣x）=0

∴ +a+ +a=0，解得a= ，

（2）解：由（1）得f（x）= + 在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數，證明如下

任取x1＜x2則

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

當x1，x2∈（0，+∞）時，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ，＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0；

當x1，x2∈（﹣∞，0）時，2x1﹣1＜0，2x2﹣1＜0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0，

綜上知，函數f（x）在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數

（3）解：2x→0時，f（x）→﹣ ，2x小于1趨向于1時，f（x）→﹣∞，

2x→+∞時，f（x）→ ，2x大于1趨向于1時，f（x）→+∞，

∴函數f（x）的值域是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）．

【解析】（1）由奇函數的定義f（x）+f（﹣x）=0，可解得a=，（2） 由于f（x）的單調性的定義，進行設值作差可得出f（x）在定義域上單調遞減，（3）根據f（x）的解析式，取其極限不難討論出f（x）的值域.
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．