Question

【題目】已知函數y=f（x）的定義域為{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函數，當x＜2時，f（x）=|2x﹣1|，那么當x＞2時，函數f（x）的遞減區間是（ ）
A.（3，5）
B.（3，+∞）
C.（2，+∞）
D.（2，4]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵y=f（x+2）是偶函數，∴f（﹣x+2）=f（x+2），

則函數f（x）關于x=2對稱，

則f（x）=f（4﹣x）．

若x＞2，則4﹣x＜2，

∵當x＜2時，f（x）=|2x﹣1|，

∴當x＞2時，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，

則當x≥4時，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，

此時f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16 ，此時函數遞增，

當2＜x≤4時，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，

此時f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16 ﹣1，此時函數遞減，

所以函數的遞減區間為（2，4]，

所以答案是：D．

【考點精析】通過靈活運用函數奇偶性的性質和奇偶性與單調性的綜合，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性即可以解答此題．