Question

已知函數f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數．
(1)求k的值；
(2)探究函數f(x)＝ax＋(a、b是正常數)在區間和上的單調性（只需寫出結論，不要求證明）.并利用所得結論，求使方程f(x)－log₄m＝0有解的m的取值范圍．

Answer 1

(1);
(2)函數f(x)＝ax＋ (a、b是正常數)在區間上為減函數，在區間上為增函數;.

解析試題分析：(1)由已知函數的定義域為關于原點對稱,又是偶函數,則可根據偶函數的定義(或者利用特殊值代入計算亦可,如),得到一個關于的方程,從而求出的值;(2)由函數在區間上為減函數,在區間上為增函數,結合是可知函數在區間上為單調遞減函數,在區間上為單調遞增函數.由題意知方程,即為方程,若使方程有解,則對數式的值要在函數的值域范圍內,所以首先要求出函數的值域,對函數進行化歸得,故原方程可化為,令,,則在區間上為減函數,在區間上為增函數,故函數的最小值為,即當,時函數的值,所以函數的值域為,從而可求出.
試題解析：(1)由函數f(x)是偶函數，可知．
∴.
即，      2分   ，        4分
∴對一切恒成立．∴.      5分
（注：利用解出，亦可得滿分)
(2)結論：函數 (a、b是正常數)在區間上為減函數，
在區間上為增函數.                  6分
由題意知，可先求的值域，． 8分
設，又設，則，由定理，知在單調遞減，在單調遞增，所以，    11分
∵為增函數，由題意，只須，即
故要使方程有解，的取值范圍為.        13分
考點：1.偶函數;2.對數函數;3.函數;4.復合函數值域.