Question

【題目】如圖，多面體中，是正方形，，，，且，，、分別為棱、的中點．

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）首先根據已知條件易證平面，從而得到，又根據得到平面，根據中位線得到，得到平面，根據，是中點，得到，再根據線面垂直的判定即可證明平面.

（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，再代入二面角公式計算即可.

（1）因為，，

所以，即.

平面.

又因為平面，所以.

因為四邊形是正方形，所以.

平面.

因為，四邊形是正方形，所以.

又因為、分別為棱、的中點，所以.

所以平面.

又因為平面，所以.

因為，是中點，所以.

平面.

（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，

如圖所示：

則，，，，

所以，

平面的一個法向量為，

由，得，令，則.

由（1）可知平面

所以平面的一個法向量為，

設平面和平面所成銳二面角為，

則

所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為．