Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側面底面，且為等腰直角三角形，，、分別為、的中點.

（1）求證：//平面 ；
（2）若線段中點為,求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)證明見解析（2）

試題分析：（1）要證//平面,可證明與平面內的一條直線平行,邊結由中位線定理得這條直線就是.（2）以中點為原點建立空間直角坐標系, 由側面底面可得為平面的法向量，寫出各點坐標與平面內兩條直線所在直線的方向向量從而可求出平面的法向量,求二面角的余弦值可用向量法.
試題解析：（1）證明：連接，
因為是正方形，為的中點，所以過點，且也是 的中點，
因為是的中點，所以中，是中位線，所以 ,
因為平面，平面，所以平面,
（2）取的中點，建如圖坐標系，則相應點的坐標分別為 
所以
因為側面底面，為平面的法向量，

設 為平面的法向量，
則由∴
∴
設二面角的大小,則為銳角，
則．
即二面角的余弦值為．