Question

某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中，發現其注意力指數P與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線．當t∈（0，14]時，曲線是二次函數圖象的一部分，當t∈[14，40]時，曲線是函數y=log_α（x-5）+83（a＞0且a≠1）圖象的一部分．根據專家研究，當注意力指數P大于等于80時聽課效果最佳．
（1）試求P=f（t）的函數關系式；
（2）老師在什么時段內安排核心內容能使得學生聽課效果最佳？
請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用所給函數圖象求出當t∈（0，14]時，是一段二次函數的圖象，可設f（t）=c（t-12）²+82（c＜0）進行求解；當t∈（14，40]時，將已知點的坐標代入y=log_a（x-5）+83，求解即得其解析式最后利用分段函數的形式寫出求P=f（t）的函數關系式即可；
（2）欲知老師在什么時段內安排核心內容能使得學生聽課效果最佳，只須令p≥80，求出相應的x值即可，即老師在相應的時段內安排核心內容能使得學生聽課效果最佳．
解答：解：（1）t∈（0，14]時，設p=f（t）=c（t-12）²+82（c＜0），
將（14，81）代入得c=-
t∈（0，14]時，p=f（t）=-（t-12）²+82（4分）
t∈（14，40]時，將（14，81）代入y=log_a（x-5）+83，得a=（6分）
∴．（7分）
（2）t∈（0，14]時，-（t-12）²+82≥80
解得12-2≤t≤12+2，
∴t∈[12-2，14]（11分）
t∈[14，40]時，（t-5）+83≥80解得5＜t≤32，
∴t∈[14，32]，∴t∈[12-2，32]，（15分）
即老師在t∈[12-2，32]時段內安排核心內容能使得學生聽課效果最佳．（16分）
點評：本題考查了分段函數，以及函數與方程的思想、分類討論的思想，屬于基礎題．解決實際問題關鍵是建立數學模型．