Question

 隨著石油資源的日益緊缺，我國決定建立自己的石油儲備基地，

已知某石油儲備基地原儲有石油噸，按計劃正式運營后的第一年進油量為已儲油量的25%，以后每年的進油量均為上一年底儲油量的25%，且每年年內用出噸，設為正式運營后第年年底的石油儲量．

    （Ⅰ）求、、；

    （Ⅱ）猜測出的表達式并用數學歸納法予以證明；

    （Ⅲ）為抵御突發事件，該油庫年底儲油量不得少于噸，如果噸，該油庫能否長期按計劃運營？如果能，請加以證明；如果不能，請說明理由．

（計算中可供參考的數據：，）

   

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）依題意，油庫原有儲油量為a噸，則，

    ，

    ，…；      …………3分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）猜測：對于任意正整數恒有

    ，

    下用數學歸納法證明：

    1^o當時，，猜測成立； …………4分

    2^o假設當時，成立，       …………5分

    那么，由，得

             ，

    這就是說當時，猜測也成立，

    綜合1^o、2^o知，對于猜測都成立；           …………8分

    （Ⅲ）如果噸時，該油庫第年年底的儲油量不少于噸，

    ，∴≤3，        …………10分

    ∴=，       

    說明該油庫只能在5年內運營，因此不能長期運營．      …………13分

    本題考查數列知識、數學歸納法的應用、不等式的解法和數學應用能力，屬較難題．