Question

【題目】已知函數，，且曲線與在處有相同的切線.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求證：在上恒成立；

（Ⅲ）當時，求方程在區間內實根的個數.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)2.

【解析】

試題分析：

(Ⅰ)函數有相同的切線，則，，據此計算可得；

(Ⅱ)構造函數，令，原問題等價于在上恒成立，討論函數的單調性可得，即在上恒成立.

(Ⅲ)構造函數，其中，結合導函數討論函數的單調性有 .構造函數，則在內單調遞減，，據此討論可得在區間內有兩個零點，即方程在區間內實根的個數為2.

試題解析：

（Ⅰ）∵，，，

∴.

∵，，

∴，.

∵，即，

∴.

（Ⅱ）證明：設，

.

令，則有.

當變化時，的變化情況如下表：

∴，即在上恒成立.

（Ⅲ）設，其中，

.

令，則有.

當變化時，的變化情況如下表：

∴ .

，

設，其中，則，

∴在內單調遞減，，

∴，故，而.

結合函數的圖象，可知在區間內有兩個零點，

∴方程在區間內實根的個數為2.