Question

正實數x₁，x₂及f（x）滿足f(x)=

4x-1

4x+1

，且f（x₁）+f（x₂）=1，則f（x₁+x₂）的最小值等于

4

5

．

Answer 1

分析：根據f（x）的解析式，將f（x₁）+f（x₂）=1表示出來，然后求出4x1=

4x2+3

4x2-1

，再表示出f（x₁+x₂），將其中的4x1代入其中，將所得表達式進行化簡，整理成乘積為定值的形式，運用基本不等式求解，即可得到f（x₁+x₂）的最小值．

解答：解：∵f(x)=

4x-1

4x+1

，且f（x₁）+f（x₂）=1，
∴

4x1-1

4x1+1

+

4x2-1

4x2+1

=1，
∴4x1=

4x2+3

4x2-1

，
∴f(x1+x2)=

4x1+x2-1

4x1+x2+1

=1-

2

4x14x2+1

=1-

2

(4x2-1)+ 4 4x2-1

+6≥1-

2

2 (4x2-1) 4 4x2-1 +6

=1-

1

5

=

4

5

，
當且僅當4x2-1=

4

4x2-1

，即4x2=3，x₂=log₄3時取得最小值，
∴f（x₁+x₂）的最小值等于

4

5

．
故答案為：

4

5

．

點評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應用，應用基本不等式時，要注意“一正、二定、三相等”的判斷．本題解題的關鍵是將兩個變量轉化為一個變量來表示，然后構造成乘積為定值的形式，運用基本不等式進行求解．同時考查了化簡運算的能力．屬于中檔題．