Question

【題目】設點F1（﹣c，0），F2（c，0）分別是橢圓C： =1（a＞1）的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且 的最小值為0．

（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四邊形F1MNF2面積S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x，y），則 =（x+c，y）， =（x﹣c，y），

∴ =x2+y2﹣c2= x2+1﹣c2，x∈[﹣a，a]，

由題意得，1﹣c2=0c=1a2=2，

∴橢圓C的方程為

（2）解：將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程x2+2y2=2中，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．

由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）=0，

化簡得：m2=2k2+1．

設d1=|F1M|= ，d2=|F2N|= ，

當k≠0時，設直線l的傾斜角為θ，

則|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，

∴|MN|= |d1﹣d2|，

∴S= d1﹣d2|（d1+d2）= = = ，

∵m2=2k2+1，∴當k≠0時，|m|＞1，|m|+ ＞2，

∴S＜2．

當k=0時，四邊形F1MNF2是矩形，S=2．

所以四邊形F1MNF2面積S的最大值為2

【解析】（1）利用 的最小值為0，可得 =x2+y2﹣c2= x2+1﹣c2 ， x∈[﹣a，a]，即可求橢圓C的方程；（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程中，得到關于x的一元二次方程，由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，△=0，即可得到m，k的關系式，利用點到直線的距離公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．當k≠0時，設直線l的傾斜角為θ，則|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四邊形F1MNF2面積S的表達式，利用基本不等式的性質，結合當k=0時，四邊形F1MNF2是矩形，即可得出S的最大值．