Question

【題目】已知數列{an}中，a2=2，其前n項和Sn滿足： （n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若 ，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意有 ．

所以 ，則有 （n≥2），

所以2（Sn﹣Sn﹣1）=nan﹣（n﹣1）an﹣1，

即（n﹣2）an=（n﹣1）an﹣1（n≥2）．

所以（n﹣1）an+1=nan，

兩式相加得2（n﹣1）an=（n﹣1）（an+1+an﹣1），即2an=an+1+an﹣1（n≥2），

即an+1﹣an=an﹣an﹣1（n≥2，n∈N），

故數列{an}是等差數列．

又a1=0，a2=2，所以公差d=2，

所以數列{an}的通項公式為an=2n﹣2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

則 …+n22n﹣2，

兩邊同乘以22得 +…+（n﹣1）22n﹣2+n22n，

兩式相減得 +22n﹣2﹣n22n，

即 = ，

所以

【解析】（I）利用數列遞推關系、等差數列的定義及其通項公式即可得出．（II）利用錯位相減法、等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．