Question

我們用min｛S₁，S₂，…，S_n｝和max｛S₁，S₂，…，S_n｝分別表示實數S₁，S₂，…，S_n中的最小者和最大者．

(1)設f(x)＝min｛sinx，cosx｝，g(x)＝max｛sinx，cosx｝，x∈［0，2π］，函數f(x)的值域為A，函數g(x)的值域為B，求A∩B；

(2)數學課上老師提出了下面的問題：設a₁，a₂，a_n為實數，x∈R，求函數(x₁＜x₂＜x_n∈R＝的最小值或最大值．為了方便探究，遵循從特殊到一般的原則，老師讓學生先解決兩個特例：求函數和的最值．學生甲得出的結論是：［f(x)］_min＝min｛f(－2)，f(－1)，f(1)｝，且f(x)無最大值．學生乙得出的結論是：［g(x)］_max＝max｛g(－1)，g(1)，g(2)｝，且g(x)無最小值．請選擇兩個學生得出的結論中的一個，說明其成立的理由；

(3)試對老師提出的問題進行研究，寫出你所得到的結論并加以證明(如果結論是分類的，請選擇一種情況加以證明)．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)，，∴．　　4分

　　(2)若選擇學生甲的結論，則說明如下，

　　，于是在區間上是減函數，在上是減函數，在上是增函數，在上是增函數．　　8分

　　所以函數的最小值是，且函數沒有最大值．　　10分

　　若選擇學生乙的結論，則說明如下，

　　，于是在區間上是增函數，在上是增函數，在上是減函數，在上是減函數．

　　所以函數的最大值是，且函數沒有最小值．　　10分(3)結論：

　　若，則；

　　若，則；

　　若，則，

　　

　　(寫出每個結論得1分，共3分，證明為5分)

　　以第一個結論為例證明如下：

　　∵，∴當時，

　　，是減函數，

　　當時，

　　，是增函數

　　當時，函數的圖像是以點，，

　　為端點的一系列互相連接的折線所組成，

　　所以有．